固有値分解（Eigendecomposition）は、スペクトル分解（Spectral decomposition）とも呼ばれ、行列をその固有値と固有ベクトルで表される行列の積に分解する方法です。対角化可能な行列にのみ固有値分解を適用できることに注意する必要があります。

N 次元の非零ベクトル v が N×N の行列 A の固有ベクトルであるための必要十分条件は、次の式が成立することです：

ここで、λ はスカラーで、v に対応する固有値と呼ばれます。また、v を固有値 λ に対応する固有ベクトルとも呼びます。つまり、固有ベクトルに線形変換 A を適用すると、ベクトルは伸長または収縮するだけで、その方向は変わりません。

上式から、

多項式 p(λ) を行列の固有多項式と呼びます。上式は行列の固有方程式とも呼ばれます。固有多項式は未知数 λ の N 次多項式です。代数の基本定理により、固有方程式には N 個の解があります。これらの解の集合は固有値の集合であり、時には「スペクトル」（Spectrum）とも呼ばれます。

多項式 p を因数分解すると、

ここで、

各固有値 λ_i に対して、次の式が成立します：

各固有方程式には、